On June 26, I gave a talk at the 13th Workshop on Nonequilibrium Fluctuation Theorems, reviewing a paper (K. Ptazyński and M. Esposito, "Thermodynamics of quantum information flows," Physical Review Letters 2019, link) on quantum thermodynamics. I am grateful for Prof. Jong-Min Park of APCTP for giving me a good chance.
The paper itself have a clear, insightful message but quite concisely written, so I supplemented my talk with additional background and future directions. I began by introducing the concept of information flow, showing how this notion is elegantly connected to the second law of thermodynamics for subsystems.
This concept of information flow has been a central theme in my recent ongoing research. It underlies many apparently second-law-violating phenomena —flows emerging in the absence of gradients or even against gradients. Here, information flow can be understood as a thermodynamic resource like free energy.
Next, I outlined the density matrix formalism of QM, along with some basic concepts such as pure/mixed states and entangled/separable states. I especially enjoyed calculations using the operator properties and working with the Bell state examples by my hand. Although I had studied a little bit of textbook QM before, unfamiliarity on those formalism had often felt like barriers when reading papers in this area. What I have learned while preparing this part will likely make future readings much easier.
Next, I discussed about Lindblad equation which is a Markovian, CPTP framework of describing open quantum systems. Deriving Spohn's theorem (which is a key step for the emergence of thermodynamic irreversibility) from the 'contractive' property of Lindbladian dynamics was very impressive.
While the main body of the paper is not very extensive, it draws a close analogy with classical systems by defining an information flow between two subsystems in the Lindblad setting and successfully connects it with the (modified) second law for subsystems. Authors then exemplify their theory with a two-quantum-dot system.
What directions might future work take? In analogy with my ongoing work on classical regime, one could formulate a trajectory-level (before averaged) version of information flow in the quantum setting and conduct large deviation analysis to systematically unravel the trajectory-wise structure of apparent second-law violation.
Meanwhile, quantum entanglement is a very different type of resource from thermodynamic resources. For example, dissipation, which is typically seen as detrimental in thermodynamic terms, can actually enhance entanglement (called dissipative preparation). Since quantum mutual information approximates or bounds the entanglement, it may be possible—at least in restricted scenarios—to relate thermodynamic resources like information flow to entanglement.
Additionally, there has been works that leverage dissipation for quantum error correction, or overcoming barren plateau in quantum ML tasks like VQE. These kind of works may also be fruitfully connected to the framework of quantum (stochastic) thermodynamics.
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Presentation material
(국문)
지난 6월 25-27일에 양평에서 진행된 13th Workshop on Nonequilibrium Fluctuation Theorem에서 톡을 할 기회를 얻어서, 제 최근 관심사이자 연구주제인 정보열역학의 continuous dynamical system 포말리즘을 양자역학에 확장한 논문(K. Ptazyński and M. Esposito, "Thermodynamics of quantum information flows," Physical Review Letters 2019, 링크)을 리뷰하는 시간을 가졌습니다.
논문은 명료한 main result를 가지고 있지만 핵심 내용만으로 발표를 구성하기엔 길이가 다소 짧아서, 발표 준비 과정에서 어차피 공부해야 했던 기초적인 내용들을 발표에 삽입하여 청중과 함께 살펴보고자 했습니다. 사실 이번 발표는 제가 잘 준비했다고 생각한 맨 앞부분에서 여러 질문에 답을 잘 못하는 바람에, 성공적이었다고 보기는 어려웠습니다. 그래도 많이 질문해 주신 덕분에 사후적으로 내용도 더 정리해 보고 많이 배우는 시간이 되었던 것 같습니다.
먼저 정보이론의 맥락에서 정의된 정보 흐름 (information flow)이 엔트로피와, 나아가서 열역학과 연결되는 과정을 소개했습니다. 정보흐름은 제 최근 연구 주제에서 핵심적인 역할을 하는 물리량인데요, 기울기가 없음에도, 혹은 아예 기울기를 역행하여 어떤 '흐름'이 발생하는 등 겉보기에 열역학 2법칙을 위반하는 여러 현상들의 열역학적 한계를 이야기해 줍니다. 정보 흐름 또한 마치 자유에너지처럼 우리가 유용한 일을 하기 위한 열역학적 자원인 것입니다.
다음으로 양자역학의 밀도행렬 포말리즘과, pure/mixed state, 양자 얽힘의 개념 등을 다루었습니다. 연산자의 성질을 바탕으로 여러 공식을 간단하게 만드는 과정과, Bell state를 가지고 pure/mixed, entanglement 등의 개념을 연습삼아 계산해보는 과정이 특히 재미있었습니다. 양자역학을 교과서로 공부하긴 했음에도 이런 개념들에 익숙하지는 않은 것이 양자쪽 논문 훑어볼 때 늘 장벽이 되었었는데, 이번 발표 준비를 계기로 조금 더 익숙해질 수 있었던 것 같습니다.
다음으로는 외부와 접촉하고 있는 열린 양자계(open quantum system)를 다루는 하나의 방법인 Lindblad equation을 소개하였습니다. Lindblad operator가 만족하는 contractive 성질(계속 가할수록 quantum relative entropy가 줄어든다)로부터 Spohn's inequality를 통해 열역학적 비가역성이 도출되는 것이 매우 인상적이었습니다. 앞으로는 Lindblad equation뿐 아니라 열린양자계를 기술하는 다른 여러가지 근사적 방정식들이 어떤 서로 다른 가정 하에 어떻게 얻어지는지도 공부해보면 좋을 것 같습니다.
논문의 메인 내용은 이렇게 기술되는 열린 양자계에서 고전역학에서의 개념을 거의 parallel하게 따라서 두 subsystem 사이의 정보 흐름을 정의하고, 이것이 subsystem에서의 2법칙 위배를 어떻게 설명하는지 보여주는 것입니다. 두 개의 양자점을 연결시키고 한쪽에 drive를 세게 걸어서 다른 쪽에서 기울기에 역행하는 흐름이 생기게 한 시스템을 예시로 보여줍니다.
후속연구로는 무엇이 가능할까요? 먼저 제가 현재 고전역학 영역에서 진행중인 연구와 패러렐하게, 양자에서도 '평균되기 전'의 정보 흐름(stochastic info flow라고 부르고 있습니다)을 정의하고 이에 대한 large deviation 분석을 수행하여 subsystem이 열역학 제2법칙을 위배하는 구조를 체계적으로 unravel해 볼 수 있습니다.
한편, 양자 얽힘과의 관계도 생각해볼 수 있습니다. 양자 얽힘은 자유에너지 등 흔히 생각하는 열역학적인 자원과는 굉장히 다른 종류의 resource라서, 열역학적 원리와의 연결이 그리 명백하거나 단순하지 않습니다. 예컨대 통념과 달리 외부와의 열적 접촉에 의해 오히려 얽힘이 늘어나는 일이 가능합니다 (dissipative preparation). 이러한 상황에서 quantum mutual information을 공통된 고리 삼아서, 제한된 상황에서나마 양자 얽힘에 대한 resouce theory와 양자 정보열역학을 연결지을 수 있을 것 같습니다 (이를테면 얽힘 형성의 speed limit 등).
이외에 꼭 정보흐름이랑 상관은 없더라도 양자역학 분야, 특히 추상화된 양자 알고리즘보다는 조금 더 통계물리학 백그라운드를 가진 학도로서 기여할 수 있는 부분들에 대해 개인적으로 요새 점점 관심이 커지고 있습니다. 예컨대 열적 접촉에 의한 노이즈를 활용하여 양자 오류정정(quantum error correction)을 하거나, VQE를 비롯한 양자 ML에서 barren plateau (대충 말하자면, 최적화 과정에서 빠져나가기 어려운 드넓은 영역)를 극복하는 등의 연구가 있습니다. 특히 후자는 고전적 딥 러닝에서 SGD를 통해 안 좋은 영역에서 빠져나오는 것과 약간 겹쳐 보여서 흥미롭게 느껴지기도 합니다. 또한 open quantum system과는 얼마나 관련될지 모르겠지만, quantum sensing에서는 quantum fisher information (파라미터가 변할 때 분포 변화의 민감성)이 상전이점 근처에서 발산하므로, 그 근처에서 초정밀한 측정이 가능하다는 내용이 있다고 합니다. 이 또한 통계물리학도로서 흥미롭게 느껴집니다.
아무리 타과 출신이라도, 물리학도로서 양자를 너무 모르는 것이 그동안 콤플렉스였는데, 밀도행렬 포말리즘을 기초부터 공부해 봄과 동시에 제 최근 관심사인 정보열역학과도 연결짓는 좋은 논문을 읽어 보고, 양자 쪽에 있는 고유한 이슈들을 이해해 볼 수 있어서 저로서도 유익한 시간이었습니다.
